これは、放送大学の認知心理学(高野陽太郎先生)で取り上げられてた問題です。
突然ですが、問題です。
「ある40歳の女性がマモグラム検査を受けたところ
検査結果が陽性になった。
この女性が実際に乳癌にかかっている確率は
どれぐらいだろうか?」
ただし、前提となる条件は
「40歳の女性が乳癌にかかる確率は1%である。
乳癌にかかっている女性がマモグラム検査を受けると
検査結果は80%の確率で陽性になる。
しかし、乳癌にかかっていない女性が検査を受けても
9.6%は陽性になる。」
あなたはどのぐらいだと思いますか?
これ、実験を行って解答を集めると、もっとも多い解答は「80%」となるんだそうです。
何を隠そう、私も初めてこの問題に出会った時、80%と考えました。
でも、この80%って
間違いです!
私もそうでしたが、他の80%と思った人は、おそらく単純に
「乳癌にかかっている女性がマモグラム検査を受けると
検査結果は80%の確率で陽性になる。」
という文言に引っ掛けられて、80%と考えたんじゃないかと思います。
ここは「ひっかけ」みたいなものなんですかね。
この勘違いは、きっと
雨ごいをすると
雨が降る!
みたいな勘違いと話は似ているんじゃないかと思います。
きっと、検査を受ける人は乳癌にかかっている女性だけ、
みたいな勘違いに近いと思いますが、
そもそも、乳癌にかかっている女性だけが検査を受けるんだとしたら、
検査の意味なんてないですよね。
乳癌にかかっていない女性も検査を受けるんだ、という事実を忘れていませんか?
ということです。
あの、雨ごいをすると雨が降る、といった話の時、
雨ごいをしたら確かに雨が降ったとしても、
「雨ごいなんかしなくても
雨が降ることは普通にある」
という事実を忘れてしまっている、ということなんですね。
ということで、乳癌にかかっていない女性もたくさんマモグラムの検査を
受けるんだということをしっかりと計算に入れて考えると、
検査の結果、陽性になる人っていうのは
乳癌にかかっている女性の
80%が陽性になる
に加えて、
乳癌にかかっていない女性の
9.6%が陽性になる
なんですね。
そして、統計的に40歳の女性の1%が乳癌にかかっているという事実があるので、
たとえば1000人の40歳の女性がいたら、10人が乳癌にかかっているという計算です。
なので、1000人がマモグラム検査を受けたとすると、
乳癌にかかっている人10人中
8人が陽性になり
そして、
乳癌にかかっていない人990人中
95人が陽性になる
という結果になります。(95人は四捨五入しました)
つまり、陽性となった103人(8人+95人)のうち、実際に乳癌にかかっているのは8人なので、
8/103 = 7.8%
が乳癌にかかっている人の割合、ということになりますね。
つまり、検査の結果「陽性ですよ」と言われたとしても、上の例での話ではまだまだ驚くことはない、ということが分かります。
でも確かに1回検査をすることで、最初は1%の確率で乳癌だったはずが、突然7.8%に跳ね上がってますので、やっぱり注意が必要ということですね。