これは、放送大学の認知心理学（高野陽太郎先生）で取り上げられてた問題です。
突然ですが、問題です。
「ある４０歳の女性がマモグラム検査を受けたところ
検査結果が陽性になった。
この女性が実際に乳癌にかかっている確率は
どれぐらいだろうか？」
ただし、前提となる条件は
「４０歳の女性が乳癌にかかる確率は１％である。
乳癌にかかっている女性がマモグラム検査を受けると
検査結果は８０％の確率で陽性になる。
しかし、乳癌にかかっていない女性が検査を受けても
９．６％は陽性になる。」
あなたはどのぐらいだと思いますか？
これ、実験を行って解答を集めると、もっとも多い解答は「８０％」となるんだそうです。
何を隠そう、私も初めてこの問題に出会った時、８０％と考えました。
でも、この８０％って
間違いです！
私もそうでしたが、他の８０％と思った人は、おそらく単純に
「乳癌にかかっている女性がマモグラム検査を受けると
検査結果は８０％の確率で陽性になる。」
という文言に引っ掛けられて、８０％と考えたんじゃないかと思います。
ここは「ひっかけ」みたいなものなんですかね。
この勘違いは、きっと
雨ごいをすると
雨が降る！
みたいな勘違いと話は似ているんじゃないかと思います。
きっと、検査を受ける人は乳癌にかかっている女性だけ、
みたいな勘違いに近いと思いますが、
そもそも、乳癌にかかっている女性だけが検査を受けるんだとしたら、
検査の意味なんてないですよね。
乳癌にかかっていない女性も検査を受けるんだ、という事実を忘れていませんか？
ということです。
あの、雨ごいをすると雨が降る、といった話の時、
雨ごいをしたら確かに雨が降ったとしても、
「雨ごいなんかしなくても
雨が降ることは普通にある」
という事実を忘れてしまっている、ということなんですね。
ということで、乳癌にかかっていない女性もたくさんマモグラムの検査を
受けるんだということをしっかりと計算に入れて考えると、
検査の結果、陽性になる人っていうのは
乳癌にかかっている女性の
８０％が陽性になる
に加えて、
乳癌にかかっていない女性の
９．６％が陽性になる
なんですね。
そして、統計的に４０歳の女性の１％が乳癌にかかっているという事実があるので、
たとえば１０００人の４０歳の女性がいたら、１０人が乳癌にかかっているという計算です。
なので、１０００人がマモグラム検査を受けたとすると、
乳癌にかかっている人１０人中
８人が陽性になり
そして、
乳癌にかかっていない人９９０人中
９５人が陽性になる
という結果になります。（９５人は四捨五入しました）
つまり、陽性となった１０３人（８人＋９５人）のうち、実際に乳癌にかかっているのは８人なので、
８／１０３ ＝ ７．８％
が乳癌にかかっている人の割合、ということになりますね。
つまり、検査の結果「陽性ですよ」と言われたとしても、上の例での話ではまだまだ驚くことはない、ということが分かります。
でも確かに１回検査をすることで、最初は１％の確率で乳癌だったはずが、突然７．８％に跳ね上がってますので、やっぱり注意が必要ということですね。